10/23/2013

Números decimales y fracciones

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Entendemos por números decimales o racionales aquellos que se pueden expresar en forma de fracción, que supondremos irreducible. Se dividen en tres tipos:

-) Decimales exactos: Son aquellos que tienen un número finito de cifras, es decir, los decimales se acaban. Dentro de ellos se incluyen los números naturales y los enteros, ya que no tienen ninguna cifra decimal.
3.6            1.794            5

-) Periódicos: Tienen un grupo de cifras decimales que se repiten hasta el infinito. Se llama período al conjunto de cifras que se repiten y anteperíodo al conjunto de cifras que se encuentran delante del período. Los números periódicos a su vez pueden ser de dos tipos:
  • Periódicos puros: El período comienza justo detrás del punto decimal, y por lo tanto no tienen anteperíodo: $$0.2222\cdot{}\cdot{}\cdot{}=0.\bar{2} \\ 3.497497\cdot{}\cdot{}\cdot{}=3.\overline{497}$$
  • Periódicos mixtos: Existe un grupo de cifras decimales (anteperíodo) entre el punto decimal y el período:$$0.432222\cdot{}\cdot{}\cdot{}=0.43\bar{2} \\ 3.2497497\cdot{}\cdot{}\cdot{}=3.2\overline{497}$$
Paso de fracción a decimal y de decimal a fracción:
-) Para convertir una fracción en un decimal se divide el numerador entre el denominador, obteniendo uno de los tres tipos de números explicados anteriormente.
  • Si en el denominador sólo hay múltiplos de 2 y de 5, obtenemos un decimal exacto.
  • Si en el denominador aparecen más factores, obtendremos un decimal periódico.
 -) El método para pasar de decimal a fracción depende del tipo de número racional que tengamos y  se denomina cálculo de la fracción generatriz del número decimal:
  • Decimal exacto: Escribimos el número completo sin el punto decimal en el numerador de la fracción, y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales haya $$7.42=\frac{742}{100} \\ 0.9748=\frac{9748}{10000}$$
  • Periódico puro: En el numerador escribimos el número completo sin la coma decimal menos la parte entera, y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el período. $$3.\overline{4}=\frac{34-3}{9}=\frac{31}{9} \\ 27.\overline{389}=\frac{27389-27}{999}=\frac{27362}{999}$$
  • Periódico mixto: En el numerador escribimos el número completo sin la coma decimal menos la parte no periódica, y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el período seguidos de tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo.  $$2.7\overline{43}=\frac{2743-27}{990}=\frac{2716}{990} \\ 43.217\overline{5}=\frac{432715-43271}{9000}=\frac{388958}{9000}$$

Ejercicios resueltos:
1) Transforma cada fracción en un decimal y clasifica el número que obtengas:
$$\frac{12}{9}=1.\overline{3}\;\; Periódico \;\;puro \\
 \frac{7}{15}=0.4\overline{6}\;\; Periódico \;\;mixto \\
 \frac{12}{7}=1.\overline{714285}\;\; Periódico \;\;puro \\
\frac{7}{32}=0.21875\;\; Exacto \\
\frac{17}{19}=0.\overline{894736842105263157}\;\; Periódico \;\;puro \\
\frac{5}{7}=0.\overline{714285}\;\; Periódico \;\;puro \\
\frac{51}{17}=3\;\; Exacto \\
\frac{2}{3}=0.\overline{3}\;\; Periódico \;\;puro \\
$$

2) Escribe le fracción generatriz de los siguientes números:
$$3.5=\frac{35}{10} \\
0.\overline{6}=\frac{6}{9} \\
3.555\cdot{}\cdot{}\cdot{}=\frac{35-3}{9}=\frac{32}{9} \\
5.2\overline{5}=\frac{525-52}{90}=\frac{473}{90} \\
1.\overline{1}=\frac{11-1}{9} =\frac{10}{9} \\
2.173=\frac{2173}{1000} \\
6.\overline{25}=\frac{625-6}{99}=\frac{619}{99} \\
7.428\overline{93}=\frac{742893-7428}{99000}=\frac{735465}{99000}
$$

10/20/2013

Números reales

Hasta ahora hemos visto varios tipos de números:

-) Naturales: Son los números positivos, los que normalmente usamos para contar. Hay infinitos números naturales y tienen principio pero no tienen fin.$$\mathbb{N}=\left\{{1, 2, 3, 4, 5 ·····}\right\}$$ -) Enteros: Es el conjunto formado por la unión de los números positivos, los números negativos y el cero. Existen infinitos números enteros, que no tienen principio ni fin.$$\mathbb{Z}=\left\{{···· -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4 ·····}\right\}$$ Todo número natural es un número entero, por lo que los naturales están contenidos dentro de los enteros. $$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}$$ -) Racionales o decimales: Son aquellos números que se pueden representar mediante una fracción, y por ellos tienen finitos decimales o infinitas cifras decimales que se repiten de forma periódica. Los representaremos mediante la letra
$$\mathbb{Q}$$ Los números enteros están contenidos dentro de los racionales. $$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}$$
Los números racionales pueden ser de tres tipos:
  • Decimales exactos: Tienen un número finito de cifras decimales, es decir, estas se acaban. En ellos se incluyen tanto los números naturales como los enteros.
          -7            2.58           4            2.7777777            0.27
  • Periódicos puros: Son aquellos que tienen un grupo de cifras decimales que se repiten inmediatamente detrás de la coma decimal. Dicho conjunto de cifras se llama período.
0.22222222······         34.7373737373········           2.782578257825·······
  • Periódicos mixtos: Entre la coma decimal y el grupo de números que se repiten existe una serie de cifras que no se repiten, llamadas anteperíodo.
14.3277777777·····           0.34674674647········           125.123458989898989······

-) Irracionales: Son aquellos números que tienen un número infinito de cifras decimales que no se repiten. No pueden ser expresados en forma de fracción y los representaremos mediante la letra
$$\mathbb{I}$$ Entre los números irracionales más conocidos se encuentran los números pi, e, o el número de oro, cuyo valor aproximado viene dado por $$\pi\approx3.1415926535 \\ e\approx2.7182818285  \\   \phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}=1.6180339887$$ Otros números irracionales podrían ser
0.1234567891011····          23.01001000100001······          54.11121314151617······

-) Números reales: Son todos los anteriores. Todos los números son números reales. Los representaremos por la letra $$\mathbb{R}$$ Por lo tanto se cumple que $$\mathbb{N}\subset\mathbb{Z}\subset\mathbb{Q}\subset\mathbb{R} \\ \mathbb{I}\subset\mathbb{R}$$


10/08/2013

Reglas de divisibilidad


En muchas ocasiones no hace falta realizar la división para saber si un número es divisor de otro. Las reglas de divisibilidad nos ofrecen una forma fácil de saber si podemos dividir un número entre otro sin necesidad de hacer ninguna cuenta. En este curso usaremos cinco de ellas:

Regla del 2: Un número es divisible entre 2 si es par, es decir, acaba en 0, 2, 4, 6, u 8

Regla del 3: Un número es divisible entre 3 si al sumar todas sus cifras el resultado es múltiplo de 3

Regla del 5: Un número es divisible entre 5 si acaba en 0 o en 5

Regla del 10: Un número es divisible entre 10 si acaba en 0

Regla del 11: Un número es divisible entre 11 si sumamos las cifras que se encuentran en posición par y las cifras que se encuentran en posición impar, y al restar ambas cantidades el resultado es cero o múltiplo de 11.
En particular un número es divisible entre 11 si al sumar las cifras en posición par y las cifras en posición impar, obtenemos el mismo resultado.

10/07/2013

Múltiplos y divisores


Se dice que un número a es múltiplo de otro número b si al dividir a entre b la división es exacta, es decir, el resto es cero. En este caso también podemos decir que b es un divisor de a o que a es divisible entre b
Otra forma de decirlo es que existe un número natural n tal que al multiplicar n·b nos da el número a
$$a = n\cdot{}b$$
Debemos tener en cuenta que el múltiplo es siempre el número más grande de los dos, y el divisor es el más pequeño.
Para calcular múltiplos de un número dado basta con multiplicarlo por cualquier otro número que se te ocurra. Hay infinitos múltiplos, así que tienes muchas opciones donde elegir.

Ejemplo: Calcula los tres primeros múltiplos de 12 mayores de 200
La forma más fácil de resolver el ejercicio es dividir 200 entre 12. El cociente es 16 y el resto es 8. Eso significa que 12 · 16 = 192 y nos hemos quedado cortos. Le sumamos 12 a 192 y tenemos el primer múltiplo de 12 de los tres que nos piden, que será 204. Volviendo a sumar 12 dos veces obtenemos los tres múltiplos; 204, 216 y 228.
Otra forma de resolverlo, una vez que sabemos que el cociente es "16 con algo" y no hemos llegado a 200, es multiplicar 12 por 17, por 18 y por 19, lo que nos da los números pedidos.

Para calcular todos los divisores de un número tendremos en cuenta que van por parejas, es decir, si al dividir dos números la división es exacta, tanto el divisor como el cociente son divisores del número, por lo que sólo tendremos que seguir dividiendo hasta que el divisor y el cociente "se encuentren". Si además tenemos en cuenta las reglas de divisibilidad, evitaremos tener que realizar muchas operaciones que no son necesarias.
Los divisores de un número los expresaremos de la forma D (numero) = {·············}
Empieza a partir del 1 y ve probando consecutivamente con todos los números naturales hasta que el cociente sea mayor que el divisor.

Ejemplo: Calcula todos los divisores de 24
Dividimos 24 entre 1, 2, 3, 4 ···  y anotamos tanto el divisor como el cociente.Recuerda que sólo valen si la división es exacta.
     D (24) = {1, 24, 2, 12, 3, 8, 4, 6}
De forma que al multiplicar cada pareja de números el resultado sea 24.
     1 · 24 = 24
     2 · 12 = 24
     3 · 8 = 24
     4 · 6 = 24
y ya hemos terminado, puesto que no podemos dividir 24 entre 5 y el siguiente número con el que tendríamos que probar es el 6, que ya está en la lista anterior.
Es conveniente escribir todos los divisores ordenados de menor a mayor. Podemos hacerlo directamente escribiendo cada número de la pareja uno al principio y otro al final de la lista, de forma que se encuentren en el centro. ¿Que sobra o falta espacio? No hay problema. ¡Lo importante es que esté bien!
     D (24) = {1,  2,  3,  4,        6,  8,  12,  24}

Números naturales


Los números naturales son los números positivos, aquellos que usamos para contar. Están formados por el siguiente conjunto que representaremos por la letra $$\mathbb{N}=\left\{{0, 1, 2, 3, 4, 5\cdot{}\cdot{}\cdot{}\cdot{}}\right\}$$
Hay infinitos números naturales. Tienen principio pero no tienen fin. A veces el cero no se incluye dentro de los números naturales, pero vamos a dejarlo así.


Jerarquía (orden) de las operaciones:

Recordemos que en los números naturales hay definidas cuatro operaciones básicas que son la suma, resta, multiplicación y división. Cuando nos encontremos con una operación combinada en la que aparezcan varias de ellas a la vez, el orden a seguir será el siguiente:
     1.- Paréntesis o corchetes
     2.- Multiplicaciones y divisiones
     3.- Sumas y restas

Si además aparecen potencias y raíces, que veremos más adelante, estas tienen prioridad sobre las multiplicaciones y divisiones. Es decir, habría que hacerlas antes. Por lo tanto el orden sería:
     1.- Paréntesis o corchetes
     2.- Potencias y raíces
     3.- Multiplicaciones y divisiones
     4.- Sumas y restas

Si en una misma línea encontramos varias operaciones con la misma prioridad, las efectuaremos de izquierda a derecha.