Números decimales y fracciones

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Entendemos por números decimales o racionales aquellos que se pueden expresar en forma de fracción, que supondremos irreducible. Se dividen en tres tipos:

-) Decimales exactos: Son aquellos que tienen un número finito de cifras, es decir, los decimales se acaban. Dentro de ellos se incluyen los números naturales y los enteros, ya que no tienen ninguna cifra decimal.

3.6            1.794            5

-) Periódicos: Tienen un grupo de cifras decimales que se repiten hasta el infinito. Se llama período al conjunto de cifras que se repiten y anteperíodo al conjunto de cifras que se encuentran delante del período. Los números periódicos a su vez pueden ser de dos tipos:

• Periódicos puros: El período comienza justo detrás del punto decimal, y por lo tanto no tienen anteperíodo: $$0.2222\cdot{}\cdot{}\cdot{}=0.\bar{2} \\ 3.497497\cdot{}\cdot{}\cdot{}=3.\overline{497}$$

• Periódicos mixtos: Existe un grupo de cifras decimales (anteperíodo) entre el punto decimal y el período:$$0.432222\cdot{}\cdot{}\cdot{}=0.43\bar{2} \\ 3.2497497\cdot{}\cdot{}\cdot{}=3.2\overline{497}$$

Paso de fracción a decimal y de decimal a fracción:
-) Para convertir una fracción en un decimal se divide el numerador entre el denominador, obteniendo uno de los tres tipos de números explicados anteriormente.

• Si en el denominador sólo hay múltiplos de 2 y de 5, obtenemos un decimal exacto.
• Si en el denominador aparecen más factores, obtendremos un decimal periódico.

 -) El método para pasar de decimal a fracción depende del tipo de número racional que tengamos y  se denomina cálculo de la fracción generatriz del número decimal:

• Decimal exacto: Escribimos el número completo sin el punto decimal en el numerador de la fracción, y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales haya $$7.42=\frac{742}{100} \\ 0.9748=\frac{9748}{10000}$$
• Periódico puro: En el numerador escribimos el número completo sin la coma decimal menos la parte entera, y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el período. $$3.\overline{4}=\frac{34-3}{9}=\frac{31}{9} \\ 27.\overline{389}=\frac{27389-27}{999}=\frac{27362}{999}$$
• Periódico mixto: En el numerador escribimos el número completo sin la coma decimal menos la parte no periódica, y en el denominador tantos nueves como cifras tenga el período seguidos de tantos ceros como cifras tenga el anteperiodo.  $$2.7\overline{43}=\frac{2743-27}{990}=\frac{2716}{990} \\ 43.217\overline{5}=\frac{432715-43271}{9000}=\frac{388958}{9000}$$

Ejercicios resueltos:
1) Transforma cada fracción en un decimal y clasifica el número que obtengas:
$$\frac{12}{9}=1.\overline{3}\;\; Periódico \;\;puro \\
 \frac{7}{15}=0.4\overline{6}\;\; Periódico \;\;mixto \\
 \frac{12}{7}=1.\overline{714285}\;\; Periódico \;\;puro \\
\frac{7}{32}=0.21875\;\; Exacto \\
\frac{17}{19}=0.\overline{894736842105263157}\;\; Periódico \;\;puro \\
\frac{5}{7}=0.\overline{714285}\;\; Periódico \;\;puro \\
\frac{51}{17}=3\;\; Exacto \\
\frac{2}{3}=0.\overline{3}\;\; Periódico \;\;puro \\
$$

2) Escribe le fracción generatriz de los siguientes números:
$$3.5=\frac{35}{10} \\
0.\overline{6}=\frac{6}{9} \\
3.555\cdot{}\cdot{}\cdot{}=\frac{35-3}{9}=\frac{32}{9} \\
5.2\overline{5}=\frac{525-52}{90}=\frac{473}{90} \\
1.\overline{1}=\frac{11-1}{9} =\frac{10}{9} \\
2.173=\frac{2173}{1000} \\
6.\overline{25}=\frac{625-6}{99}=\frac{619}{99} \\
7.428\overline{93}=\frac{742893-7428}{99000}=\frac{735465}{99000}
$$